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Petit thread pour répertorier les formules de maths utiles dans le cadre de l'analyse on-chain
Bitcoin
Calculer la supply totale du BTC
On sait selon le whitepaper du Bitcoin que la récompense initiale de 50 BTC est divisée par 2 tous les 210 000 blocs, cela jusqu'à atteindre environ 21 000 000 de BTC.
avenueducoin.com
Voici la formule :
Avec [imath]i[/imath] représentant une période (ou "époque") de halving, on peut le voir comme le ième halving
[imath] \small{BTC\:supply} = \displaystyle\sum_{i=0}^{32} 210000 \biggr(\frac{50}{2^i}\biggr) \approx 21000000 [/imath]
Estimer la supply du BTC au "nième" bloc (hauteur)
J'ai trouvé une formule pour estimer la supply du BTC au nième block sur Dune, sauf qu'elle est erronée... :
https://dune.com/queries/3425943/5752826
Transformons cet agrégat SQL en notation mathématique pour une meilleure lisibilité :
[imath]round(x) = \bigl\lfloor x \bigr\rceil[/imath]
[imath] \small{incorrect\:formula} \approx \displaystyle\sum_{h=0}^n \frac{50}{2^{\bigl\lfloor \frac{h}{210000} \bigr\rceil}} [/imath]
On se rend vite compte que l'usage de ROUND est incorrect car cela estime un halving 2x plus tôt que prévu, il aurait fallu utiliser FLOOR.
Autre problème : la supply max du BTC est d'environ 20 999 999, 9769 et le Block Subsidy ne peut pas être inférieur à 1 satoshi ([imath]10^{-8}[/imath])
Hors ici il n'y a pas de limite pour le résultat, cela entraine une imprécision lorsque n vaut ou dépasse 6930000 (33e halving).
Bon, ça n'arrivera pas avant environ 2140 alors il y a le temps, mais tout de même
C'est plus parlant avec une image :
Sur le graphique on observe une division de la récompense par 2 à partir de 105 000 blocs au lieu de 210 000 avec la méthode de l'arrondi (round).
Il faut impérativement utiliser FLOOR(x) dans la formule !
Pour une raison que j'ignore, sur Dune les fonctions ROUND(x), CEIL(x) et FLOOR(x) agissent toutes comme FLOOR(x) dès que [imath]x[/imath] devient trop petit... Il s'agit très probablement d'un bug
C'est pour cela que même si la formule de départ est fausse, l'estimation est à peu près bonne sur Dune...
Donc prudence si vous faites des copier/coller ! Toujours vérifier ses résultats et les formules utilisées
[imath]h[/imath] représente la hauteur du bloc
[imath]\text{floor(x)} = \lfloor x \rfloor[/imath]
[imath]\text{Avec } 0 \le n < 6930000[/imath]
[imath] \small{BTC\:supply\:at\:block\:n} \approx \displaystyle\sum_{h=0}^n \frac{50}{2^{\bigl\lfloor\frac{h}{210000}\bigr\rfloor}} [/imath]
[imath]\text{Si n} \ge 6930000 \text{ alors la supply vaut 20 999 999, 9769}[/imath]
Exemple Python
Exemple SQL (Data provider: Dune)
Si on obtient une bonne estimation on pourrait optimiser un petit peu les performances pour un ordinateur :
Dans la solution précédente, pour calculer la supply au block [imath]n[/imath] il faut [imath]n[/imath] itération. Pour le bloc 841938 ca veut dire 841938 tours de boucle, même si c'est presque insignifiant ça peut être drastiquement réduit
[math] \text{Avec } 0≤n<6930000 \\ t = \frac{n}{210000} \\ \{t\} = t - \lfloor t \rfloor \\ \{t\} \times 210000 = n - \lfloor t \rfloor \times 210000 \\ \text{\:BTC\:supply\:at\:block\:n} \approx \displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor t \rfloor - 1} 210000 \biggr(\frac{50}{2^i}\biggr) + (n - \lfloor t \rfloor \times 210000 + 1)\times \frac{50}{2^{\lfloor t \rfloor}} [/math]
Bitcoin
Calculer la supply totale du BTC
On sait selon le whitepaper du Bitcoin que la récompense initiale de 50 BTC est divisée par 2 tous les 210 000 blocs, cela jusqu'à atteindre environ 21 000 000 de BTC.
Block - Avenue du Coin
Dans la blockchain, un block est une structure de données qui possède un enregistrement des différentes transactions. Chaque block contient un hash du block précédent.
avenueducoin.com
Voici la formule :
Avec [imath]i[/imath] représentant une période (ou "époque") de halving, on peut le voir comme le ième halving
[imath] \small{BTC\:supply} = \displaystyle\sum_{i=0}^{32} 210000 \biggr(\frac{50}{2^i}\biggr) \approx 21000000 [/imath]
Estimer la supply du BTC au "nième" bloc (hauteur)
J'ai trouvé une formule pour estimer la supply du BTC au nième block sur Dune, sauf qu'elle est erronée... :
https://dune.com/queries/3425943/5752826
Transformons cet agrégat SQL en notation mathématique pour une meilleure lisibilité :
[imath]round(x) = \bigl\lfloor x \bigr\rceil[/imath]
[imath] \small{incorrect\:formula} \approx \displaystyle\sum_{h=0}^n \frac{50}{2^{\bigl\lfloor \frac{h}{210000} \bigr\rceil}} [/imath]
On se rend vite compte que l'usage de ROUND est incorrect car cela estime un halving 2x plus tôt que prévu, il aurait fallu utiliser FLOOR.
Autre problème : la supply max du BTC est d'environ 20 999 999, 9769 et le Block Subsidy ne peut pas être inférieur à 1 satoshi ([imath]10^{-8}[/imath])
Hors ici il n'y a pas de limite pour le résultat, cela entraine une imprécision lorsque n vaut ou dépasse 6930000 (33e halving).
Bon, ça n'arrivera pas avant environ 2140 alors il y a le temps, mais tout de même
SQL:
-- incorrect way to estimate supply
, btc_supply AS (
SELECT SUM(50/POWER(2, ROUND(height/210000))) AS supply
FROM bitcoin.blocks
)
,C'est plus parlant avec une image :
Sur le graphique on observe une division de la récompense par 2 à partir de 105 000 blocs au lieu de 210 000 avec la méthode de l'arrondi (round).
Il faut impérativement utiliser FLOOR(x) dans la formule !
Pour une raison que j'ignore, sur Dune les fonctions ROUND(x), CEIL(x) et FLOOR(x) agissent toutes comme FLOOR(x) dès que [imath]x[/imath] devient trop petit... Il s'agit très probablement d'un bug
C'est pour cela que même si la formule de départ est fausse, l'estimation est à peu près bonne sur Dune...
Donc prudence si vous faites des copier/coller ! Toujours vérifier ses résultats et les formules utilisées
[imath]h[/imath] représente la hauteur du bloc
[imath]\text{floor(x)} = \lfloor x \rfloor[/imath]
[imath]\text{Avec } 0 \le n < 6930000[/imath]
[imath] \small{BTC\:supply\:at\:block\:n} \approx \displaystyle\sum_{h=0}^n \frac{50}{2^{\bigl\lfloor\frac{h}{210000}\bigr\rfloor}} [/imath]
[imath]\text{Si n} \ge 6930000 \text{ alors la supply vaut 20 999 999, 9769}[/imath]
Exemple Python
Python:
import math
import numpy as np
if __name__ == '__main__':
vf = np.vectorize(lambda h: 50 / (2 ** (math.floor(h / 210000))))
n = 841938
supply = vf(np.arange(n+1)).sum()
print(f"supply at block height {n}: {supply} (approx)")
# affichage: supply at block height 841938: 19693559.375 (approx)Exemple SQL (Data provider: Dune)
SQL:
SELECT
CASE
WHEN MAX(height) >= 210000*33 THEN 20999999.9769
ELSE SUM(50/POWER(2, FLOOR(height/210000)))
END as supply
FROM bitcoin.blocks;Si on obtient une bonne estimation on pourrait optimiser un petit peu les performances pour un ordinateur :
Dans la solution précédente, pour calculer la supply au block [imath]n[/imath] il faut [imath]n[/imath] itération. Pour le bloc 841938 ca veut dire 841938 tours de boucle, même si c'est presque insignifiant ça peut être drastiquement réduit
[math] \text{Avec } 0≤n<6930000 \\ t = \frac{n}{210000} \\ \{t\} = t - \lfloor t \rfloor \\ \{t\} \times 210000 = n - \lfloor t \rfloor \times 210000 \\ \text{\:BTC\:supply\:at\:block\:n} \approx \displaystyle\sum_{i=0}^{\lfloor t \rfloor - 1} 210000 \biggr(\frac{50}{2^i}\biggr) + (n - \lfloor t \rfloor \times 210000 + 1)\times \frac{50}{2^{\lfloor t \rfloor}} [/math]
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